Problem Apoloniusza
Problem Apoloniusza – problem matematyczny polegający na stworzeniu okręgu stycznego do trzech innych okręgów (Figura 1). Apoloniusz z Pergi przedstawił i rozwiązał ten problem w swojej pracy Ἐπαφαί (Epaphaí, "Styczności"); praca ta zaginęła, jednak raport na temat jej wyników, który wykonał Pappus z Aleksandrii, przetrwał. Dla dowolnych trzech okręgów można stworzyć 8 różnych okręgów, które będą do nich styczne (Figura 2).
[edytuj] Rozwiązania problemu
Istnieje wiele różnych metod rozwiązania tegoż problemu. W XVI w., Adriaan van Roomen rozwiązał ten problem korzystając z przecinających się hiperboli, jednak ta metoda nie korzysta jedynie z konstrukcji klasycznych. François Viète znalazł takie rozwiązanie problemu korzystając z ograniczania możliwości: każdy z trzech okręgów może być zmniejszony do 0 stopni (punktu) lub powiększony do nieskończonej ilości stopni (prostej).
Później, matematycy zdefiniowali metody algebraiczne, które umożliwiły zdefiniowanie problemu za pomocą równań algebraicznych.
[edytuj] Typy Problemu Apoloniusza
Ogólnie rzecz biorąc, Problem Apoloniusza można zdefiniować jako problem narysowania okręgu stycznego do trzech danych elementów. W konsekwencji daje to 10 różnych typów tegoż problemu, przedstawionych poniżej:
| Indeks | Kod | Elementy | Ilość rozwiązań | Przykład (rozwiązanie na różowo) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | PPP | trzy punkty | 1 |  |
| 2 | LPP | jedna prosta i dwa punkty | 2 |  |
| 3 | LLP | dwie proste i jeden punkt | 2 |  |
| 4 | CPP | jeden okrąg i dwa punktu | 2 |  |
| 5 | LLL | trzy proste | 4 |  |
| 6 | CLP | jeden okrąg, jedna prosta i jeden punkt | 4 |  |
| 7 | CCP | dwa okręgi i jeden punkt | 4 |  |
| 8 | CLL | okrąg i dwie proste | 8 |  |
| 9 | CCL | dwa okręgi i prosta | 8 |  |
| 10 | CCC | trzy okręgi (klasyczny problem) | 8 |  |
[edytuj] Bibliografia
- Boyd DW. The osculatory packing of a three-dimensional sphere. Canadian J. Math.: 303–322 (1973).
- Célèbres problèmes mathématiques. Paryż: Albin Michel, 1949, ss. 219–226. OCLC 61042170.
- Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia. Gothae: Ettinger, 1795.
- Gisch D, Ribando JM. Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections. American Journal of Undergraduate Research: 15–25 (2004).
- Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique. Paryż: 1933. OCLC 67245614.
- Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Berlin: Teubner, 1906, ss. 97–105.
- The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Nowy Jork: Penguin Books, 1991, ss. 3–5. ISBN 0-14-011813-6.
