Liczby zaprzyjaźnione
Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielników przez samą siebie).
Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284 ponieważ:
- 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)
- 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)
Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości. Przykłady innych par liczb zaprzyjaźnionych:
- 220 i 284
- 1184 i 1210
- 2620 i 2924
- 5020 i 5564
- 6232 i 6368
- 10744 i 10856
- 12285 i 14595
- 17296 i 18416
- 63020 i 76084
- 66928 i 66992
- 67095 i 71145
Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został wynaleziony przez arabskiego matematyka Tabit Ibn Qurra ok. roku 850.
niech
jest liczbą naturalną
,
,
jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi
wówczas :
i 
są liczbami zaprzyjaźnionymi.
Generuje pary (220, 284),(17,296, 18,416) oraz (9,363,584, 9,437,056), ale już nie (6232, 6368). Formuła sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7 ale nie dla żadnego innego n <20000.
Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) ,nieprzyjazne'. Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par, których składniki potrafią być rzędu 109.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.
