Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie , np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych a_i zwanych cyframi, zawartych w przedziale [0,p − 1], gdzie i=0,1,...

Skrótowo zapisuje się je jako: ...a₇a₆a₅a₄a₃a₂a₁a₀.

Spis treści 1 Działania 2 Liczby ujemne 3 Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych 4 Przykłady 5 Zobacz też

[edytuj] Działania

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie p, choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

[edytuj] Liczby ujemne

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną − x nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

• -1 = ...99999
• -2 = ...99998
• -10 = ...99990
• -15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby ...a₇a₆a₅a₄a₃a₂a₁a₀ konstruujemy następująco:

1. Każdą cyfrę a_i zastępujemy przez p − 1 − a_i.
2. Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

[edytuj] Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu a_i, co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest ...0000, czyli liczba całkowita zero.

[edytuj] Przykłady

• ...000652 (można ją utożsamiać z liczbą naturalną 652)
• ...999348 (można ją utożsamiać z liczbą naturalną − 652)

[edytuj] Zobacz też

• liczba,
• liczby p-adyczne,
• przegląd zagadnień z zakresu matematyki