Liczby dualne

Brak wersji przejrzanej

W algebrze, liczby dualne są liczbami postaci $z = a + b ε$ , gdzie $a,b \in \mathbb{R}$ oraz $ε 2 = 0$ ( $ε$ jest nilpotentem). Działania na nich wykonuje się przy użyciu wzorów:

(a + b ε) + (c + d ε) = (a + c) + (b + d)ε

(a + b ε)(c + d ε) = a c + (a d + b c)ε + b d ε 2 = a c + (a d + b c)ε

.

Można je reprezentować przy użyciu macierzy: niech

$\epsilon = \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Wtedy

$a + b\epsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ .

Suma i iloczyn dwóch liczb dualnych odpowiadają odpowiednim operacjom na macierzach.

[edytuj] Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych P(x) = p₀+p₁x+p₂x²+...+p_nxⁿ, można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że P(a+bε) = P(a)+bP′(a)ε, gdzie P′ jest pochodną P.

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych: f(a+bε) =f(a)+bf′(a)ε.

[edytuj] Dzielenie

Iloraz liczb dualnych ${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}$ jest zdefiniowany gdy $c \neq 0$ . Proces dzielenia jest analogiczny do dzielenia liczb zespolonych - ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon} = {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-0 \over c^2+0}$