Element odwracalny

Brak wersji przejrzanej

Element odwracalny danej struktury algebraicznej względem danego dwuargumentowego działania wewnętrznego to taki element, dla którego istnieje element odwrotny względem tego działania.

Ściślej, jeśli dana jest struktura algebraiczna $(A,h_1,h_2,\dots,h_n)$ , a $h_1,h_2,\dots,h_n$ są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $A$ , to element $a\in A$ nazywamy odwracalnym względem działania $h i$ , gdzie $i = 1,..., n$ jest ustalone, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

działanie $h i$ posiada element neutralny $e\in A$ ,
$\exist_{b\in A}\; h_i(a,b)=h_i(b,a)=e$ .

Wówczas element $b$ nazywamy elementem odwrotnym do $a$ względem działania $h i$ .

Ponadto, wyróżnić możemy elementy lewostronnie odwracalne i elementy prawostronnie odwracalne. Jeżeli $e\in A$ jest elementem neutralnym działania $h i$ , to $a\in A$ nazywamy lewostronnie odwracalnym, gdy $\exists_{b\in A}h_i(b,a)=e$ , zaś prawostronnie odwracalnym, gdy $\exists_{b\in A}h_i(a,b)=e$ . Jeżeli działanie $h i$ jest przemienne, to każdy element lewostronnie lub prawostronnie odwracalny jest odwracalny. Jeżeli działanie $h i$ jest łączne, to element będący jednocześnie lewostronnie odwracalny i prawostronnie odwracalny jest odwracalny.

[edytuj] Odwracalność w konkretnych strukturach

Poniżej znajduje się omówienie własności odwracalności w najczęściej rozpatrywanych strukturach algebraicznych. Największe znaczenie pojęcie to ma w przypadku pierścieni.

W grupach każdy element jest odwracalny, co wynika bezpośrednio z definicji tej struktury.

W pierścieniu łącznym $P$ z jedynką element $a$ nazywa się odwracalnym, jeśli $\exist_{b \in P}\; ab = ba = 1$ . Element $a$ nazwiemy lewostronnie odwracalnym, jeśli $\exist_{b \in P}\; ba = 1$ . Analogicznie, element $a$ nazwiemy prawostronnie odwracalnym, jeśli $\exist_{c \in P}\; ac = 1$ . Jeśli element jest prawostronnie i lewostronnie odwracalny, to zachodzi $b = b (a c) = (b a) c = c$ (na mocy łączności multiplikatywnego działania w pierścieniu) i wówczas element $b$ nazywa się elementem odwrotnym do $a$ i oznacza $a - 1$ lub $- a$ . Gdy pierścień $P$ jest pierścieniem przemiennym, to każdy lewostronnie lub prawostronnie odwracalny element jest odwracalny. Łatwo wykazać, że zbiór elementów odwracalnych danego pierścienia tworzy grupę multiplikatywną.

Każdy niezerowy element dowolnego ciała jest elementem odwracalnym. Jest to warunek konieczny, by pierścień był ciałem. Jeśli pierścień jest niezerowy (zawiera przynajmniej dwa elementy, oznaczane $0$ i $1$ ), to jest to warunek konieczny i wystarczający.

Każda algebra nad ciałem jest pierścieniem łącznym z jedynką, warunki odwracalności są więc identyczne, jak w przypadku pierścieni.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze macierzy kwadratowych danego stopnia $n$ z określonym w tym zbiorze zwykłym mnożeniem macierzy, elementami odwracalnymi są wszystkie macierze nieosobliwe.
W każdym pierścieniu (z jedynką) jedynka jest elementem odwracalnym, zaś element do niej odwrotny jest jej równy.
W pierścieniu $\mathbb Z_p$ , gdzie $p$ jest liczbą pierwszą, każdy niezerowy element jest odwracalny.
W pierścieniu $\mathbb Z_n$ , gdzie $n$ nie jest liczbą pierwszą, istnieją elementy, które nie są odwracalne, np. w pierścieniu $\mathbb Z_4$ elementami odwracalnymi są elementy $1$ i $3$ .