Człon inercyjny

Skocz do: nawigacji, szukaj

Człon inercyjny w automatyce to układ, którego transmitancja ma postać

G(s)={\frac {k}{(1+sT_1)(1+sT_2)...(1+sT_n)}},

gdzie k\in\mathbb{R} to współczynnik wzmocnienia, T_i\in\mathbb{R}^{+}, i=1, 2, ..., n to stałe czasowe inercji, a n to rząd inercji członu.

[edytuj] Człon inercyjny I rzędu

Człon inercyjny pierwszego rzędu ma postać

G(s)={\frac {k}{(1+sT)}}.

Odpowiedź impulsowa:

g(t)=\frac{k}{T} e^{-\frac{t}{T}} \cdot \mathbf{1}(t)

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi

  • w dziedzinie operatorowej
H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{1+sT}}\cdot{\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT)}}
  • w dziedzinie czasu
h(t)=k(1-e^{-\frac{t}{T}}) \cdot \mathbf{1}(t)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

G(j\omega) = {\frac {k}{1+j\omega T}} = {k\over {1+(\omega T)^2}} - j{{k \omega T} \over {1+(\omega T)^2}}

przyjmując G(jω) = P(ω) + jQ(ω) otrzymujemy:

P(\omega) = {k\over {1+(\omega T)^2}}


Q(\omega) = -{{k \omega T} \over {1+(\omega T)^2}}

Charakterystyka fazowa:

φ(ω) = − arctg(ωT)

[edytuj] Człon inercyjny II rzędu

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać

G(s)={\frac {k}{(1+sT_1)(1+sT_2)}}.

Poza ogólnymi założeniami na T1 i T2 musi zachodzić:

T1 + T2 > 0

oraz

T_1 \cdot T_2 > 0

Odpowiedź impulsowa:

g(t)=\frac{k}{T_1 - T_2} ( e^{-\frac{t}{T_1}} - e^{-\frac{t}{T_2}} ) \cdot \mathbf{1}(t)

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego II rzędu wynosi

  • w dziedzinie operatorowej
H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{(1+sT_1)(1+sT_2)}}\cdot{\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT_1)(1+sT_2)}}
  • w dziedzinie czasu
h(t)=k( 1 -{T_1 \over {T_1 - T_2}} e^{-\frac{t}{T_1}} +{T_2 \over {T_1 - T_2}} e^{-\frac{t}{T_2}} ) \cdot \mathbf{1}(t)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

G(j\omega) = {\frac {k}{(1+j\omega T_1)(1+j\omega T_2)}}

przyjmując G(jω) = P(ω) + jQ(ω) po przekształceniach otrzymujemy:

P(\omega) = {{k(1-\omega^2 T_1 T_2)} \over {1+(\omega T_1)^2+(\omega T_2)^2+(\omega^2 T_1 T_2)^2}}

Q(\omega) = {{-k\omega (T_1 + T_2)} \over {1+(\omega T_1)^2+(\omega T_2)^2+(\omega^2 T_1 T_2)^2}}

Charakterystyka fazowa:

\phi(\omega)= arctg \frac {\omega(T_1 + T_2)} {\omega^2 T_1 T_2 - 1}

Zobacz też:

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Cz%C5%82on_inercyjny”